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Ci eravamo chiesti se non ci fossero né buchi né tratteggi negli intervalli di ℚ o se, forse, fra i razionali si nascondano altri numeri... eccoli, eccoli, questi altri numeri!
Esistono numeri che non si possono esprimere sotto forma di frazione: sono i numeri decimali illimitati non periodici. Essi sono detti numeri irrazionali, poiché non sono razionali.
E da dove saltano fuori???
Alcuni sono frutto di un'estrazione di radice, poiché la radice quadrata non è un'operazione interna a ℚ.
A tal proposito, un bellissimo teorema di Julius Wilhelm Richard DEDEKIND (1831-1916) garantisce che la radice quadrata di numeri che non siano quadrati perfetti sono tutti irrazionali. Precisamente:
TEOREMA DI DEDEKIND: una radice quadrata è un numero razionale se e solo se il radicando è un quadrato perfetto.
Ah ecco, alcune radici sono irrazionali. Vuoi "vederlo" con i tuoi occhi? Ricordi il nostro prestigiatore di Mathloger e la sua idea- geniale! - di dimostrare l'irrazionalità di alcune radici quadrate per mezzo dell'equiscomposizione in quadrati triangolari?
Non tutte le radici sono irrazionali! Quindi: radice non implica irrazionale!
Inoltre, alcuni sono soluzioni di particolari equazioni (polinomiali a coefficienti interi), altri no.
Non tutti gli irrazionali sono radici! Quindi: irrazionale non implica radice!
Non tutti gli irrazionali sono radici (pensa, per esempio, al pi greco)! Quindi: irrazionale non implica radice!
Gli irrazionali completano l'insieme dei numeri razionali: la loro unione disgiunta ricopre tutto l'insieme dei numeri reali, cioè: ℚ U 𝕀 = ℝ
Altrimenti detto: ℚ e 𝕀 ripartiscono ℝ.
ICONMAP
Non finisce qui: chi è del liceo da che i numeri reali possono essere a loro volta pensati come un sottoinsieme proprio dell'insieme dei numeri complessi, cioè espressi come somma di una parte reale uguale al numero stesso e di una parte immaginaria nulla: r = r + 0 ∙ i, dove i è la radice quadrata di -1.
Possiamo, quindi, così rappresentare gli insiemi di numeri:
Si può dimostrare ciò che vale anche per i naturali, gli interi e i razionali:
TEOREMA: i numeri irrazionali sono infiniti.
e che, invece, a differenza loro:
PROPRIETÀ: l'insieme dei numeri irrazionali non è numerabile.
Quindi: non solo i numeri razionali non esauriscono l'insieme di tutti i numeri (tragica scoperta che fece crollare l'intera ideologia della scuola pitagorica) ma addirittura "sono meno" dei numeri irrazionali... questi irrazionali sono proprio dei malandrini, come quelli a cui si ispira la tua prossima missione!
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