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Forse inizi a comprendere meglio che cosa comporti il fatto che i numeri naturali formino un insieme discreto: seppure restino enti astratti, si prestano tuttavia a essere "maneggiati" singolarmente, a essere messi in fila, l'uno dietro l'altro, come nelle successioni che ti ho mostrato, e a essere raggruppati o disposti in schieramenti. E proprio uno di questi ultimi è particolarmente interessante, soprattutto in ambito aritmetico e probabilistico, poiché vi si ritrovano rappresentate tantissime successioni...
Il triangolo di Tartaglia prende il nome dal matematico autodidatta Niccolò Fontana (1449-1557), detto Tartaglia per la sua balbuzie, che non ebbe il merito di formularlo per primo (se ne trova traccia già in frammenti in sanscrito del V secolo a.C.), bensì di averne messo in evidenza proprietà interessanti nel suo "General trattato di numeri et misure" del 1556. Francia e Gran Bretagna, invece, preferiscono chiamarlo triangolo di Pascal, in ragione del saggio monografico "Traité du triangle arithmétique" con cui il celebre matematico e filosofo Blaise Pascal (1623-1662) nel 1653 ne illustrò le caratteristiche.
W i campanili! Beh, però, il buon Tartaglia ne ha scritto prima di Pascal: quindi qui nel seguito lo chiameremo con il suo nome, sans vouloir vous blesser, M. Blaise...
Il triangolo di Tartaglia è uno schieramento additivo in forma triangolare dei numeri naturali, costruito secondo una sola semplice regola: ogni numero è la somma dei 2 numeri che lo sovrastano.
animazione tratta da: Wikimedia Commons
PROPRIETÀ 0. Si può estendere il disegno all'intero piano, indicando con 0 ogni cella esterna al triangolo.
Questo è certamente vero, poiché 0 + 0 = 0.
Assomiglia alle piramidi additive che già conosci, ma è generato in ordine inverso, dall'alto verso il basso. Prova a costruirlo tu stesso!
MATHLAB Costruisci il triangolo di Tartaglia! Utilizza un foglio Excel nel modo seguente:
costruisci una scacchiera, cioè alternando celle "vuote" a celle "piene" su cui indicare i numeri naturali: seleziona le celle vuote a cui assegnerai lo sfondo grigio, esattamente come in figura;
sulla prima riga e nelle colonne A e AG, nelle celle "piene" scrivi 0, tranne nella cella centrale in cui scrivi 1;
nelle 2 righe sottostanti scrivi nelle celle "piene" la formula opportuna per generare il triangolo;
ti basterà copiare le righe 2 e 3 sulle successive per poter generare il tuo triangolo di Tartaglia!
5. Confronta, infine, ciò che hai ottenuto con questo generatore online o con la figura che segue.
Il triangolo di Tartaglia può essere pensato come un generatore di successioni particolari che andremo a esaminare; in quanto tale, è un triangolo illimitato, poiché infinito è l'insieme dei numeri naturali.
Qui sono rappresentate le prime 17 righe, cioè le sequenze di celle adiacenti in orizzontale.
Chiameremo diagonali le sequenze di celle adiacenti lungo un lato obliquo e quasi-diagonali le sequenze di celle sfalsate di una cella, indicando quando necessario se destra (cioè se va dall'alto verso il basso: \ ) o sinistra (cioè se va dal basso verso l'alto: / ) .
Ogni riga, diagonale o quasi-diagonale sarà enumerata a partire da 0, dall'alto.
Hai visto? Così semplice da generare! E ormai che sai quanto nella semplicità si nasconda la bellezza potente della matematica, è giunto il momento di svelarti altre certe sue proprietà. Cosa noti immediatamente?
PROPRIETÀ 00. Il triangolo di Tartaglia ha una evidente simmetria assiale.
infatti, ogni riga risulta specchiarsi rispetto all'asse evidenziato in rosso: la sequenza dei numeri a sinistra è crescente, mentre gli stessi numeri risultano in ordine decrescente a destra dell'asse.
Vero, ma c'è ben di più di questo, ora facciamo sul serio: scopriamo quali successioni questo triangolo ospita.
PROPRIETÀ 1. La diagonale 0 è una successione composta da soli 1; la prima diagonale rappresenta la successione dei numeri naturali; la seconda diagonale, dall'alto, rappresenta la successione dei numeri triangolari:
Questo è facilmente dimostrabile. Infatti:
la prima diagonale è ottenuta aggiungendo 1 a ogni passaggio, dunque generando la successione dei numeri naturali;
la prima diagonale è ottenuta aggiungendo il naturale successivo a ogni passaggio, quindi nel modo in cui si costruisce la successione dei numeri triangolari.
PROPRIETÀ 2. Le somme dei numeri di ogni quasi-diagonale formano nell'ordine la successione di Fibonacci:
PROPRIETÀ 3. I numeri pari e i numeri dispari si dispongono via via secondo uno schema che tende alla successione dei livelli che forma il frattale noto come triangolo di Sierpinski:
tratta da: Wikimedia Commons, by Ruben Maguregui
PROPRIETÀ 4. Le somme dei numeri di ogni riga formano nell'ordine la successione delle potenze di 2:
PROPRIETÀ 5. Ogni numero naturale (prima diagonale) ha il suo quadrato perfetto sulla seconda diagonale, ottenuto sommandone la cella adiacente sulla stessa riga e la successiva sulla seconda diagonale.
Questo concorda con quanto abbiamo già visto sui numeri triangolari e sulla loro relazione con i quadrati perfetti: la somma di 2 numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato.
tratta da: Mauitaui
Se sei del liceo, ancora una proprietà per te:
PROPRIETÀ 6. I numeri del triangolo di Tartaglia corrispondono ai coefficienti binomiali (definiti come il numero h di permutazioni possibili in un insieme di k elementi) che si mostrano distribuirsi in modo che il loro primo termine h coincida con il numero della riga e il secondo k con la posizione nella riga:
La successione per righe forma la successione dei coefficienti binomiali.
Inoltre, i coefficienti binomiali della riga n-esima esprimono nell'ordine esattamente i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima del binomio non nullo a + b, a questo devono infatti il loro nome:
tratta da: Mauitaui
Poiché per n = 0 il binomio è 1, la successione delle righe forma esattamente la successione delle potenze del binomio non nullo a + b.
Questo sì che è un bel vantaggio: puoi scrivere lo sviluppo di una potenza n-esima di un binomio senza doverla calcolare algebricamente! Infatti, per determinarne i coefficienti, ti basterà ricostruire aritmeticamente il triangolo di Tartaglia (o utilizzarlo già bello pronto) fino alla n-esima riga e considerare quest'ultima, cioè la riga di numero uguale all'esponente del binomio: un gioco da ragazzi!
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