I CUBI PERFETTI E NICOMACO

A essere qualificati come  "perfetti" (secondo il significato di potenze la cui radice è un numero intero) non sono solo i quadrati: alcuni naturali sono anche potenze terze di numeri naturali (cioè con base naturale ed esponente 3) e si dicono cubi perfetti. 

Esempio: 8 non è potenza seconda di nessun numero naturale, ma è invece potenza terza di 2.

Quadrati e cubi perfetti sono fra loro in una bellissima relazione, esclusiva per i numeri triangolari, enunciata dal seguente teorema, attribuito al filosofo e matematico greco Nicomaco di Gerasa (I-II secolo d.C.) :

TEOREMA DI NICOMACO: la somma delle potenze terze (cioè dei cubi) dei primi n numeri naturali (avendo escluso 0) è uguale alla potenza seconda (cioè al quadrato) dell'n-esimo numero triangolare:

cioè, utilizzando la notazione specifica delle serie:

Questa illustrazione ne è la dimostrazione grafica per equiscomposizione:

Puoi vederla più in dettaglio e comprenderla pienamente con opportune animazioni.

Dimostrazione:

Base: verifichiamo per n = 1

VERO!

Ipotesi induttiva:  supponiamo che sia vero per un certo k:

Passo induttivo: dobbiamo dimostrare che vale per k+1:

1) aggiungiamo il k+1-esimo cubo  a entrambi i membri, applicando il principio di conservazione dell'uguaglianza:  

2) applichiamo la formula di Gauss a destra e riscriviamo rispettivamente  i 2 membri come segue:

3) riscriviamo il secondo membro, fattorizzando il numeratore:

Otteniamo così esattamente l'espressione della tesi.

Conclusione: avendo posto k+1 = n, abbiamo dimostrato che vale per ogni n ≥ 1.

c. v. d.