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Ho proprio voglia di mettere alla prova la tua intuizione e quella dei tuoi compagni con una sfida matematica fra le più famose e sorprendenti!
Immaginiamo di fare una scommessa: se almeno 2 di noi oggi presenti festeggiano il compleanno lo stesso giorno dell'anno, vinco io; se tutti siete nati in giorni diversi, vincete voi. Stiamo scommettendo alla pari? Quante persone servono in aula perché la sfida sia equa, cioè perché io abbia il 50% di probabilità di vincere?
IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO (proposto da Richard VON MISES nel 1939)
Qual è il numero minimo di persone in una stanza affinché ci sia più del 50% di probabilità che 2 di loro siano nate lo stesso giorno?
L'intuito ci suggerisce numeri molto alti. Molti pensano a 183 (la metà dei giorni dell'anno), altri azzardano 80 o 90. In realtà, la risposta corretta è incredibilmente bassa: bastano solo 23 persone perché la probabilità che due di loro condividano il compleanno sia circa del 51%.
Non è un paradosso logico, ma è invece un paradosso dell'intuizione: la verità matematica contraddice clamorosamente ciò che ci sembra naturale. Se saliamo a 50 persone, la probabilità balza addirittura al 97%, diventando una quasi certezza.
Ti pare assurdo, eh? E ti stai chiedendo forse dove stia il "trucco" o se sia una "magia"? Non c'è trucco, non c'è inganno: solo logica e probabilità... e un pizzico di strategia: ricorrere al COMPLEMENTARE!
Invece di calcolare quanto è probabile che qualcuno compia gli anni lo stesso giorno, calcoliamo quanto è probabile che tutti siano nati in giorni diversi, cioè l'evento complementare:
P(almeno 2 uguali) = 1 − P(tutti diversi)
E1 = la prima persona è nata in un giorno qualsiasi. Quindi p(E1) = 365/365.
E2 = la seconda è nata in un giorno diverso dalla prima persona. Per differenziarsi dalla prima, ha solo 365 - 1 giorni favorevoli. Quindi p(E2) = (365-1)/365 = 364/365 .
E3 = la terza ne ha 365 - 2. Quindi p(E3) = 363/365.
Iterando il procedimento:
En = l'n-esima ne ha 365 - (n-1) = 365 - n + 1. Quindi p(En) = (365 - n + 1)/ 365.
Ora: gli eventi sono fra loro indipendenti, dunque si tratta di un caso di probabilità composta non condizionata. Moltiplicando queste probabilità, scopriamo che con 23 persone la probabilità che siano tutti diversi scende sotto il 50%, cioè la probabilità che almeno 2 siano uguali sale sopra il 50%.
Infatti, la formula per la tale probabilità è la seguente:
Se lo riscriviamo in forma compatta, utilizzando i fattoriali (secondo la definizione k! = 1 · 2 · 3 · k), otteniamo:
Quindi, la formula per calcolare direttamente la probabilità che in un gruppo di n persone almeno 2 siano nati nello stesso giorno dell'anno è la seguente:
Naturalmente non ti chiedo di appplicarla: sono numeri enormi! Guarda piuttosto in dettaglio chi l'ha applicata con gli opportuni calcolatori per scoprire come varia la probabilità di trovare almeno 2 persone con lo stesso compleanno al variare del numero delle persone:
(tratto da PP&S del Ministero dell'Istruzione)
In questo grafico, si può osservare come all'aumentare sull'asse x del numero di persone vari sull'asse y la probabilità che almeno 2 di loro compiano gli anni lo stesso giorno.
L'errore che facciamo intuitivamente è considerare il confronto del singolo compleanno con quello degli altri, anziché considerare il numero di tutte le possibili coppie che si possono formare nel gruppo, numero che cresce mooooooooolto velocemente all'aumentare delle persone.
Il metodo utilizzato per smascherare questo paradosso dell'intuizione è utilizzato anche in crittografia: per esempio, quando un sito web assegna un codice identificativo agli utenti, è impiegato per evitare le collisioni (cioè che 2 utenti abbiano lo stesso codice). Il problema dei compleanni mostra che tali collisioni avvengono molto più spesso di quanto pensiamo e permette di prevenire i cosiddetti attacchi del compleanno, finalizzati a violare i sistemi di sicurezza.
Decisamente un problema utile oltre che ammaliante! Allora impara l'arte e mettila da parte: utilizza la stessa strategia qui adottata per dedurre situazioni analoghe. Per esempio qual è il numero minimo di studenti di Tripotter necessario affinché sia più probabile del 50% che almeno 2 appartengano alla stessa Casa?
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