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Tempo fa ti avevo parlato di strutture algebriche, mentre ti introducevo nel magico mondo dei numeri, ricordi? Bene: una struttura che, per (quasi) ogni suo elemento, ammetta l'inverso rispetto all'operazione che la "fa vivere" è una meraviglia matematica, una struttura davvero interessante! Tu ne conosci già una, sai?
L'inverso di un elemenco dipende dall'operazione che si sta considerando: è definito come quel numero che, operato a qualsiasi altro dell'insieme, genera come risultato l'elemento neutro di quell'operazione.
Consideriamo ora la struttura (ℝ, +, ⋅ ), cioè l'insieme ℝ dei numeri reali dotato delle sue 2 operazioni, addizione e sottrazione (cioè "animato" da esse).
(ℝ, +, ⋅ ) ammette l'inverso?
La domanda è tutt'altro che banale, non ti pare?
(ℝ, +, ⋅ ) ammette l'inverso per entrambe le operazioni di cui è dotata.
Occorre, perciò, distinguere tra:
* l'inverso additivo di un numero, cioè il suo opposto;
* l'inverso moltiplicativo, cioè il suo reciproco.
Infatti:
* l'inverso additivo di un numero reale r è il numero -r che, sommato al numero dato - sia alla sua destra sia alla sua sinistra - dà come risultato 0, elemento neutro dell'addizione:
r + (-r) = (-r) + r = 0
* l'inverso moltiplicativo di un numero reale r diverso da 0 è il numero r -1 che, moltiplicato al numero dato - sia alla sua destra sia alla sua sinistra - dà come risultato 1, elemento neutro della moltiplicazione:
r · r -1 = r -1 · r = 1
Esempio:
0 è l'unico numero a non avere un reciproco, poiché non la divisione per 0 non è definita.
Si dimostra facilmente:
l'unicità: l'inverso di un numero, se esiste, è unico.
l'inverso dell'inverso: l'inverso dell'inverso di un numero è il numero stesso.
l'opposto della somma: l'opposto della somma di 2 numeri è uguale alla somma dei loro opposti.
il reciproco del prodotto: il reciproco del prodotto di 2 numeri è uguale al prodotto dei loro reciproci.
Ora che i numeri relativi ti sono diventati amici, puoi finalmente avvicinarti al calcolo letterale: i monomi non vedono l'ora di farsi conoscere...
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