LE PROPORZIONI

Una proporzione logica è un'uguaglianza tra 2 relazioni logiche che hanno lo stesso significato.

Esempio: la relazione logica fra Harry POTTER e GRIFONDORO e la stessa che c'è fra Draco MALFOY e SERPEVERDE; essa è "appartenere alla Casa...".

Analogamente, una proporzione aritmetica è l'uguaglianza fra 2 rapporti equivalenti.

Una proporzione è vera se l'uguaglianza è vera, cioè se i 2 rapporti sono equivalenti:

A : B = C : D

cioè se esprimono la stessa relazione (e dal punto di vista numerico lo stesso numero), quindi se le relazioni fra ogni antecedente e il proprio conseguente sono fra loro uguali.

Poiché l'uguaglianza è simmetrica, se si scambiano i 2 rapporti fra loro, cioè diventa primo quello che era secondo e viceversa, la proporzione non cambia: è la stessa proporzione!

Esempio:       3 : 6 = 5 : 10     e      5 : 10 = 3 : 6 sono la stessa proporzione.

Ogni proporzione ha perciò 4 termini. 

Come già nei rapporti, a maggior ragione in una proporzione l'ordine dei termini è di fondamentale importanza e ogni termine ha un ruolo specifico:

• i 2 più vicini all'uguale (cioè quelli che stanno in mezzo) si dicono medi;

• i 2 più lontani si dicono estremi.

Le proporzioni sono "il segreto" della similitudine, cioè della proprietà di una figura geometrica di conservare la propria forma al variare delle sue dimensioni: sono l'invariante delle figure, cioè di ciò che fa di loro ciò che sono! E cosa non varia? Il rapporto fra le sue parti: una figura è simile a un'altra se il rapporto fra le parti della prima figura è lo stesso del rapporto che c'è fra le parti corrispondenti della seconda.

Per esempio, richiamando quanto già visto: 

• √2 è l'invariante del quadrato: il rapporto fra diagonale e lato del quadrato ha sempre lo stesso valore (radice quadrata di 2). 2 quadrati qualsiasi sono fra loro simili poiché questo rapporto è lo stesso in ogni quadrato;

• π (pi greco) è l'invariante del cerchio: il rapporto fra circonferenza e diametro ha sempre lo stesso valore (pi greco). 2 cerchi qualsiasi sono fra loro simili poiché questo rapporto è lo stesso in ogni cerchio.

Se i medi sono uguali fra loro, allora la proporzione si dice continua, poiché c'è continuità fra un rapporto e l'altro: il conseguente del primo rapporto diviene l'antecedente del secondo.

Esempio:       3 : 9 = 9 : 27    

In ogni proporzione continua, poiché i medi sono uguali, li si indicano al singolare, cioè il dato a cui corrispondono i medi è detto medio proporzionale. 

NOTA BENE: il valore del medio proporzionale è compreso fra quelli degli estremi:  

a ≤  b = c  ≤  d                    oppure                    a ≥  b = c  ≥  d