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Il cerchio deve il suo fascino non solo alla perfezione che evoca, ma anche a uno dei problemi classici della matematica dell'antica Grecia...
Il problema della quadratura del cerchio, noto fin dall'antichità, consiste nel tentare di costruire un quadrato che abbia esattamente la stessa area di un dato cerchio, utilizzando solo ed esclusivamente un righello non graduato (per tracciare linee rette) e un compasso (per tracciare cerchi e riportare lunghezze). Insieme alla duplicazione del cubo e alla trisezione dell'angolo, è uno dei grandi problemi classici della geometria greca antica.
Ma perché accanirsi proprio sul "quadrare"?
Cercare di "quadrare" non era un puro esercizio matematico, bensì incarnava l'aspirazione a un mondo razionale e ordinato: riuscire a rendere controllabile anche ciò che apparentemente sfuggiva alla linearità del quadrato rappresentava un vero e proprio ideale filosofico di ordine assoluto.
MATHLAB
1. Considera un rettangolo e prova a "quadrarlo", usando solo una riga non graduata e un compasso.
2. Poi, dato un triangolo, prova a costruire con riga e compasso un rettangolo equivalente al triangolo.
3. Deduci la quadrabilità del triangolo.
... e allora proviamoci: cerchiamo di quadrare il cerchio!
Affinché un quadrato di lato l e un cerchio di raggio r siano equivalenti occorre e basta che le loro aree coincidano, cioè che:
quindi:
Quindi, risolvere la quadratura del cerchio equivale a costruire geometricamente un segmento di lunghezza:
utilizzando solo righello e compasso, cioè un segmento che possa essere espresso come numero intero o razionale o che si ottenga tramite un numero finito di operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radice quadrata. Queste lunghezze sono associate ai numeri algebrici.
Ora: per oltre duemila anni, i matematici si sono cimentati nella quadratura, senza successo!
Solo in epoca moderna il problema è stato risolto, non con una costruzione, ma con una dimostrazione di impossibilità: nel 1882, il matematico tedesco Ferdinand von LINDEMANN (1852-1939), basandosi sul lavoro di Charles HERMITE (1822-1901), dimostrò che 𝜋 non è un numero algebrico, ma un numero trascendente; allora anche la sua radice lo è e ciò implica che non possa essere costruito con riga non graduata e compasso.
La quadratura del cerchio è un problema irrisolvibile con le sole restrizioni geometriche imposte dai Greci.
Ecco perché anche nel linguaggio comune si usa la similitudine "è come quadrare un cerchio" per indicare imprese improbe! Ma se il cerchio non è quadrabile, allora non c'è speranza di quadrare figure curvilinee o mistilinee?
Se non è possibile quadrare un cerchio, è invece possibile quadrare una lunula, cioè la regione piana compresa fra 2 archi di cerchio di diverso raggio, che abbiano gli estremi in comune e giacciano dalla stessa parte rispetto alla corda comune. La possibile quadratura della lunula fu dimostrata già nel V secolo a.C. dal matematico greco IPPOCRATE di Chio (470 a.C. – 410 a.C.).
La dimostrazione della possibile quadratura della lunula è di cruciale rilevanza storica, perché consegue da un'equivalenza tra una figura curvilinea (la lunula) e una figura rettilinea (il triangolo), cosa che alimentò la fede nella congettura di una possibile quadratura del cerchio.
DIMOSTRAZIONE Il triangolo in figura è rettangolo, essendo inscritto in un semicerchio. Quindi gli si può applicare il teorema di Pitagora generalizzato: la somma delle aree dei semicerchi costruiti sui cateti è uguale all'area del semicerchio costruito sull'ipotenusa, poiché tutti i semicerchi sono fra loro simili.
Pertanto, considerando il semicerchio costruito sull'ipotenusa dalla stessa parte del trangolo, si ottiene la seguente uguaglianza:
Quindi si ottiene:
Quindi, sottraendo la stessa superficie a enti fra loro equivalenti (la superficie-somma dei semicerchi costruiti sui cateti e quella del semicerchio costruito sull'ipotenusa), per il principio di conservazione dell'uguaglianza otteniamo:
Poiché il triangolo è "quadrabile", come visto nel MathLab, per la proprietà transitiva anche la lunula lo è.
c.v.d.
Ippocrate lo aveva dimostrato per un caso particolare: quello in cui il triangolo rettangolo è isoscele, limitandosi alla sua metà e a una lunula, dimostrando l'equivalenza fra la lunula e il triangolo in giallo (che abbiamo visto essere "quadrabile"):
Infatti, la figura appena illustrata è un caso particolare di quanto appena dimostrato. Il triangolo rettangolo è isoscele, dunque la figura del caso generale diventa simmetrica: si può, quindi, considerarne una metà (una lunula e una delle 2 metà del triangolo) e constatare facilmente l'equivalenza fra:
il semicerchio costruito sull'ipotenusa;
il quarto di cerchio che contiene il triangolo
Se preferisci "toccare con mano" l'equivalenza, allora calcola le 2 aree, esprimendo il raggio del semicerchio che comprende la lunula (cioè quello della figura di sinistra) in funzione di quello del quarto di cerchio in cui è inscritto il triangolo (cioè quello della figura di destra).
Quindi, sottraendo a entrambi il segmento circolare limitato dall'ipotenusa e il quarto di cerchio, per il principio di conservazione dell'uguaglianza, si ottiene l'equivalenza enunciata.
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