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Mettiti alla prova! Ti propongo quesiti che richiedano una buona osservazione e un pizzico d'ingegno! Quindi osserva, ricorda e... credi in te!
QUESITO 1
Quanto misura l'area di ogni cerchio?
Quanto misura l'area rossa?
SOLUZIONE
La base del rettangolo misura quanto il quadruplo del raggio dei 2 cerchi: 4R = 20, da cui R = 20/4 = 5.
Quindi l'area di ogni cerchio misura 25π.
La diagonale separa il rettangolo in 2 figure congruenti.
Quindi:
area rossa = (area del rettangolo - somma delle aree dei 2 cerchi)/2 =
= (20 · 10 - 2 · 25π) / 2 = (200 - 50π) / 2 = 100 - 25π
QUESITO 2
Quanto misura l'area viola?
SOLUZIONE
Poiché CE è lungo 4 cm e FG 1 cm, allora DG, raggio del cerchio esterno, è lungo 4 cm.
Area viola = area del cerchio esterno - (somma delle aree dei 3 cerchi bianchi) =
= 16π - (4π + 2 · π) = 16π - 6π = 10π cm 2
QUESITO 3
Quanto misura l'area verde?
Quanto misura il perimetro della figura verde?
SOLUZIONE
Il diametro del cerchio esterno è lungo 2·3 + 2·2 = 10 m; il raggio del cerchio esterno è perciò lungo 5 m.
Area verde = area del cerchio esterno - (somma delle aree dei 2 cerchi bianchi) =
= 25π - (9π + 4π) = 12π m 2
Perimetro figura verde = somma delle 3 circonferenze =
= 10π + 6π + 4π = 20π m 2
QUESITO 4
Quanto misura l'area verde?
Esprimila in funzione di r, quindi calcolala in un caso particolare (per esempio, se r = 5).
SOLUZIONE
Area verde = area del quadrato - (somma dei 4 quarti di cerchio bianchi) =
= area del quadrato - area del cerchio bianco =
= 4r2 - πr2 = r2 · (4 - π)
Questi primi 4 quesiti ti spronano a utilizzare la strategia che abbiamo chiamato "stencil", ricordi? Ora ti presento un quesito che ha fatto scuola...
QUESITO 5*
Quanto misura la diagonale del rettangolo?
Quanto misura l'area del rettangolo?
SOLUZIONE
Martin Gardner scrive:
"Questo problema è molto più semplice di quanto sembri a prima vista. Le 2 diagonali di un rettangolo sono uguali. Una diagonale è quella di cui si chiede la lunghezza; l'altra è chiaramente il raggio del cerchio. Poiché il raggio è lungo 5 + 5 = 10, anche la diagonale del rettangolo deve essere 10."
Per l'area del rettangolo, occorre l'altezza.
Se si osserva che il triangolo formato dalla base della figura dalla diagonale-raggio e dal segmento a essa simmetrico è equilatero, allora si ha immediatamente l'altezza h = lato/2 · √3 = 5√3.
Se non lo si nota, basta applicare il teorema di Pitagora:
h = √ 100 - 25 = √ 75 = √ 25 · 3 = 5√3
Quindi, area del rettangolo = 5 · 5√3 = 25√3
*Questo celebre quesito è tratto dal celebre saggio "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner.
Forse ti stai chiedendo come tu abbia fatto a non notare subito una soluzione così diretta? Eh, era nascosta... anche se in piena vista! Questo è quello che Gardner chiamava "effetto Eureka" che spesso la matematica sa regalarci, quando una semplice ma non evidente osservazione ci offre una soluzione immediata: ecco perché è sempre bene osservare con attenzione un quesito prima di cercare di risolverlo...
QUESITO 6
Quanto misura l'area verde?
SOLUZIONE
Il triangolo è inscritto nella semicirconferenza: quindi è rettangolo. AC, la sua ipotenusa è anche il diametro del cerchio e misura 5 m (terna pitagorica).
Il raggio del cerchio misura perciò 2,5 m.
Area verde = area del cerchio - area del triangolo =
= (6,25π - 6) m 2
QUESITO 7
Quanto misura l'angolo y?
SOLUZIONE
Il triangolo giallo è inscritto nel semicerchio: quindi è rettangolo. Quindi 5x = 90°, da cui x = 18°.
y = 180° - (5x + 3x) = 180° - 8x = 180° - 8·18° = 36°
QUESITO 8
Quanto misura il raggio?
SOLUZIONE
Il disegno individua un triangolo inscritto in una semicirconferenza, triangolo la cui ipotenusa coincide con il diametro e del quale:
una proiezione sull'ipotenusa è lunga 10;
l'altezza relativa all'ipotenusa è lunga 5;
Applicando il 2° teorema di Euclide, si ottiene l'altra proiezione = 5 · 5 : 10 = 2,5. Quindi:
diametro = 10 + 2,5 = 12,5
Questi 3 quesiti che ti ho appena presentato sfruttano la proprietà del triangolo inscritto nella semicirconferenza (o, detto in modo equivalente, nel semicerchio): ricorda, è sempre rettangolo! Quindi pensa subito a Pitagora e a Euclide: facilmente ti aprono la strada a soluzioni alla tua portata, semplici e per questo ben più eleganti di altre trigonometriche!
Se vuoi esercitarti su problemi analoghi, prova con questi:
Area azzurra?
Area verde?
Area blu?
Area ACD?
Ora allenati su equiscomposizioni, semicerchi, segmenti circolari, lunule, girandole...
QUESITO 9
Quanto misura l'area rossa?
Quanto misura il perimetro della figura rossa?
SOLUZIONE
Nella figura si possono riconoscere 4 quadrati congruenti, ciascuno contenente un quarto di cerchio e uno "scarto" (così chiamiamo qui e nel seguito la differenza quadrato - quarto di cerchio):
L'area rossa è equivalente quindi a 2 quarti di cerchio + 2 scarti, cioè a metà del quadrato.
Perciò l'area rossa è 64 : 2 = 32 cm 2
QUESITO 10
Dato il quadrato di lato 10 cm, quanto misura l'area rossa?
SOLUZIONE
Scomponendo il quadrato in quarti di cerchio e scarti e ricomponendo, otteniamo un'area rossa totale che risulta essere la metà del quadrato:
Quindi: area rossa = 100 : 2 = 50 cm 2
QUESITO 11
Quanto misura l'area nera?
SOLUZIONE
Con la strategia dello "stencil", deduciamo l'area nera come differenza fra l'area del quadrato e l'area bianca:
Perciò l'area nera è: 3/4 - π/8 = (6 - π)/8 m 2
QUESITO 12
Quanto misura il rapporto fra l'area gialla e quella azzurra?
SOLUZIONE
La figura complessiva è formata da 10 quadrati congruenti. Si può osservare che l'area gialla è equivalente a 9 quadrati + 1/2 quadrato, poiché il quadrato in alto è formato da 2 quarti + 2 scarti, come nel quesito 9. Quindi l'area gialla è multipla della blu.
Precisamente:
area gialla = 9,5 quadretti = 19/20 della figura
area blu = 0,5 quadretti = 1/20 della figura
Il rapporto fra i 2 è 19 : 1
QUESITO 13
Quanto misura l'area verde?
SOLUZIONE
Scomponendo la figura lungo i 2 assi di simmetria paralleli ai lati nei 4 quadrati di lato 8, otteniamo 4 figure che sono simili a quella del quesito 10.
Pertanto l'area verde totale è equivalente alla metà del quadrato:
area verde = 256 : 2 = 128
QUESITO 14
Quanto misura l'area azzurra?
Quanto misura il perimetro della figura bianca?
SOLUZIONE
La superficie azzurra è formata da 8 scarti. Pertanto:
area azzurra = (16 - 16π/4) · 8 = (16 - 4π) · 8 =
= 128 - 32π cm 2
Il perimetro equivale alla lunghezza di 2 circonferenze di raggio 4 cm. Quindi:
perimetro = (2 · 4 · π) · 2 = 16π cm
QUESITO 15
Quanto misura l'area gialla?
SOLUZIONE
Si osserva che l'intera "corolla" è formata da 6 "petali" congruenti, poiché l'esagono è regolare; perciò il quesito si riduce a determinare il rapporto in ogni "petalo" fra la lunula L e l'area del triangolo equilatero T di lato n.
Il lato di T è anche il diametro del semicerchio di L.
Perciò:
Area L = Area semicerchio di L - Area segmento circolare
Area segmento circolare = Area settore - area T
Quindi:
Area L = Area semicerchio di L - Area settore + area T
Calcoliamo:
Area semicerchio di L = (n/2) 2 · π / 2 = n 2 · π / 8
Area settore = n 2 · π / 6
Area T = n 2 · √3 / 4
Perciò:
Area L = n 2 · π / 8 - n 2 · π / 6 + n 2 · √3 / 4 =
= (6√3 - π) · n 2 / 24
QUESITO 16
Quanto misura il rapporto fra l'area gialla e l'area bianca?
SOLUZIONE
Questa soluzione grafica non è l'unica possibile, ma certamente è la più elegante, perché anche in questo caso un'acuta osservazione porta subito alla soluzione:
Se ne deduce che l'area gialla e quella bianca sono uguali. Perciò il rapporto tra loro è 1 : 1
QUESITO 17
Quanto misura l'area verde?
SOLUZIONE
Si nota che il cerchio è suddiviso in 12 figure congruenti.
Quindi:
area verde totale = 4 · area della singola figura =
= 4 · (area cerchio / 12) = 4 · (π / 12) = π / 3
Ormai l'equiscomposizione ti sarà diventata alleata! Ti invito perciò a spostare l'attenzione su altro: ragioniamo ora sugli angoli alla circonferenza e al centro...
QUESITO 18
Quanto misura il rapporto fra r e l ?
SOLUZIONE
L'angolo ACB ha ampiezza doppia rispetto a quella del suo corrispondente angolo alla circonferenza che misura 30°. Quindi ABC è equilatero. Ne consegue che AC = AB. Quindi il rapporto AC / AB = 1.
QUESITO 19
Quanto misura il rapporto fra l'area verde e la rossa?
SOLUZIONE
Si può calcolarlo considerando il settore, ma il rapporto fra l'area verde e la rossa è lo stesso che c'è fra il cerchio completo verde e quello completo rosso.
Quindi:
Area cerchio verde = 36π
Area cerchio rosso = 9π
Area corona circolare verde = 36π - 9π =27π
Area verde/rossa = 27π : 9π = 3 : 1
N.B.: come già per i poligoni, anche per i cerchi il rapporto fra le aree è il quadrato del rapporto di similitudine. Quindi se il raggio raddoppia, l'area diventa quadrupla.
Hai risolto tutti questi quesiti? Caspita, allora hai un ottimo spirito di osservazione e notevoli abilità di problem solving! Non ti resta che ripassare sul quadernino quanto hai appreso!
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