ANALOGIA E IPERCUBI

L'analogia induttiva è un'arma matematica potentissima che permette di rappresentare algebricamente anche ciò che nemmeno riusciamo a immaginare. Applicata alla geometria solida, permette, per esempio, di esprimere proprietà e relazioni universali, cioè definite per spazi di qualsiasi dimensione.

I vertici sono elementi di dimensione k = 0, gli spigoli elementi di dimensione k = 1, le facce elementi di dimensione k = 2, le celle elementi di dimensione k = 3, etc.

Si definisce ipercubo la generalizzazione del cubo in spazi superiori a ℝ3, cioè spazi n-dimensionali con n > 3. 

Indichiamo con  N(n,k)   l’elemento di dimensione k di un ipercubo n-dimensionale.

Per esempio:  

N(3,2)  = F3  = numero di facce in ℝ3.

Si osserva che  N(n,k)  = 0 se e solo se n< k.

Per l'ipercubo, si dimostra la seguente relazione ricorsiva (che cioè lega i termini di una successione ai termini precedenti) fra un elemento di uno spazio e altri di spazi inferiori:

• N(n+1,k) = 2 · N(n,k)  + N(n,k-1)  

Si può anche esprimere un singolo elemento n-dimensione indipendentemente dagli altri, cioè dipendente soltanto dalla dimensione dello spazio a cui appartiene: