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Anche la matematica ha un suo gusto estetico: la "bellezza" di alcuni numeri splende in maniera più evidente di quella di altri, tanto da chiamarli... perfetti!
Prova a cercare che cosa li renda tali!
MATHLAB Cerca la caratteristica comune ai seguenti numeri naturali:
6, 28, 496, 8128
SUGGERIMENTO
Considera la loro scomposizione in fattori primi.
Che cosa hai notato? Che cosa hanno in comune?
Dato l'insieme finito D(n) dei divisori di un numero naturale n, consideriamo la somma dei suoi elementi, escluso n stesso: se tale somma è uguale a n, allora n è detto perfetto:
un numero naturale è detto perfetto se la somma dei suoi divisori diversi dal numero stesso è uguale al numero stesso n.
Poiché aggiungere a tale somma il numero stesso n significa ottenere il doppio del numero n, allora la definizione può essere anche così riformulata:
un numero naturale è detto perfetto se la somma dei suoi divisori è uguale al doppio del numero stesso n.
Per esempio:
se n = 6, si ha: D(6) = {1, 2, 3, 6}; 1+2+3 = 6 o, in modo equivalente:
1+2+3+6 = 12 = 2 • 6; quindi 6 è un numero perfetto;
se n = 28, si ha: D(28) = {1, 2, 4, 7, 14}; 1+2+4+7+14 = 28 o, in modo equivalente:
1+2+4+7+14+28 = 56 = 2 • 28; quindi 28 è un numero perfetto.
6, 28, 496, 8128 sono i primi 4 numeri perfetti.
Verrebbe allora da chiedersi: i numeri primi, che sono la meraviglia della matematica, sono forse perfetti? Leggi la risposta di un tuo compagno, Matteo:
I numeri primi non sono perfetti.
Un numero primo p non è perfetto, poiché il suo solo divisore utile alla somma è 1 e p > 1.
Ma in che cosa è questa loro "bellezza" che è persino estranea ai numeri primi?
Nella stragrande maggioranza dei casi, se si sommano i divisori di un numero naturale, escluso il numero stesso, si produce un numero che è maggiore del numero oppure minore: nel 1° caso si tratta di numeri sovrabbondanti, perché eccedono la somma, nel 2° numeri si tratta di numeri scarseggianti per il motivo opposto.
Diversamente dai numeri primi che sono la meravigliosa e sfuggente materia prima che plasma tutta l'aritmetica, i numeri perfetti sono piuttosto come gemme rare il cui mistero s'intreccia a quello dei numeri primi, continuando ancora oggi a solleticare la curiosità dei matematici: nella loro estrema rarità e nel fatto che sia difficile produrli esplicitamente, perché sono quasi tutti numeri molto grandi anche per un calcolatore, tanto che persino l'illustre Luca PACIOLI (1445-1517) sbagliò i calcoli, dichiarando di aver individuato un numero perfetto che in realtà non lo era.
Il 5° numero perfetto è 33.550.336 ed è stato determinato soltanto nel XV secolo;
il 6° e il 7° numero perfetto vennero scoperti da Pier Antonio CATALDI (1548 – 1626);
l'8° fu scoperto da EULERO (1707-1783): è formato da 37 cifre.
MATHLAB Individua 3 numeri sovrabbondanti e 3 numeri scarseggianti.
C'è una "formula segreta" che permetta di descrivere tutti e soli i numeri perfetti?
La mente matematica trova bello ciò che in qualche modo nasconde una semplice regolarità, come uno schema elementare che lo caratterizza o una forma universale: nel corso dei secoli ci si è interrogati sulla natura dei nuemri perfetti e sull'eventualità di una formula caratteristica.
E si è scoperto che una formula c'è!
U(n numero naturale pari è perfetto se e solo se è della forma:
dove sono numeri primi sia p sia il secondo fattore (detto numero di Mersenne).
Per esempio:
se p = 2, si ha: 2 • 3 = 6; quindi 6 è il 1° numero perfetto;
se p = 3, si ha: 4 • 7 = 28; quindi 28 è il 2° numero perfetto;
se p = 5, si ha: 16 • 31 = 496; quindi 496 è il 3° numero perfetto;
se p = 7, si ha: 64 • 127 = 8128; quindi 496 è il 4° numero perfetto.
E chi è riuscito a determinare la forma dei numeri perfetti?
Già EUCLIDE, nel 300 circa a.C., nei suoi "Elementi" (nel Libro 9, Proposizione 36), aveva già dimostrato una delle 2 implicazioni:
se un numero pari è della forma indicata dalla formula, allora è un numero perfetto.
L'implicazione inversa è stata scoperta, dimostrata e resa nota dal geniale EULERO (1707-1783), il celebre svizzero fra i matematici più versatili e prolifici.
Ma allora la domanda sorge spontanea: ci sono anche numeri perfetti dispari?
Non si sa se esistano numeri perfetti dispari. Si è provato, però, che se esistessero, sarebbero di almeno 300 cifre decimali e sarebbero composti da almeno 29 fattori primi.
Tutto questo è fantastico: chissà che non sia tu a scoprirlo nei prossimi anni? Puoi nel frattempo tentare di dimostrare le seguenti proprietà:
PROPRIETÀ DEI NUMERI PERFETTI:
quelli pari hanno come cifra delle unità 6 oppure 8;
la somma dei reciproci di tutti i divisori di un numero perfetto (incluso il numero stesso) è 2.
Provaci e poi confrontati con i tuoi compagni!
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