TEACHMATH 

Il concetto di frazione è pregno di significati diversi: partizione equa, quoziente, operatore, unità di misura, notazione dei numeri razionali... ognuno di essi diventa presupposto per la precomprensione di altri concetti e relazioni. Un esempio? Apprendere il concetto di operatore apre la strada alla comprensione del concetto di funzione. Fondamentale è non limitarsi a mostrarne uno solo!

E non solo: ognuno di questi significati richiede una gamma varia di esempi affinché sia compreso. Come visto, per esempio, nel percorso che ho qui suggerito, la partizione equa può (e deve) essere mostrata considerando come intero non solo le "torte" (il cerchio), ma anche per così dire... le "lasagne", in modo da sconfessare l'idea che parti eque in geometria piana significhi parti congruenti: basta molto meno, cioè che siano equivalenti, nemmeno simili!

L'intervallo razionale (0;1) è la vera novità! Infatti, in esso la moltiplicazione riduce gli operandi, anziché accrescerli come invece accade negli altri intervalli, e la divisione accresce gli operandi al contrario di come accade altrove.

FRAZIONARE NON SEMPRE SIGNIFICA RIDURRE! 

Tutto ciò è controintuitivo e destabilizzante per i giovani discenti per i quali moltiplicare è accrescere e dividere è ridurre. Occorre perciò fare apprezzare in modo importante questa differenza fra le frazioni proprie (0;1) e quelle improprie e sottolineare che questo è il solo e autentico significato della classificazione delle frazioni in apparenti, proprie e improprie! 

Da ciò discende l'importanza di mostrare in classe come le classi di frazioni equivalenti ripartiscano ℚ in intervalli disgiunti che lo ricoprono.

Quanto alle frazioni improprie, sono proprio degne del nome che portano e sono più difficilmente comprese dai piccoli discenti che faticano a rappresentarle proprio perché "superano" l'intero: conviene, perciò, soffermarsi adeguatamente sulla modalità grafica.

Sappiamo molto bene che una fragilità algoritmica nei preadolescenti (e non solo!) è rappresentata proprio dalla somma o differenza di frazioni non simili, cioè con diverso denominatore.

L'incertezza procedurale è frutto di sia una parziale comprensione del significato dell'addizione, sia di una certa complessità algoritmica. Certamente è bene consolidare l'applicazione dell'algoritmo nei discenti, ma ancor prima occorre che sia compreso! L'equivalenza delle frazioni è un prerequisito fondamentale per l'aritmetica delle frazioni.

Altro prerequisito necessario per introdurre l'addizione di frazioni è la caratteristica dell'addizione - in qualsiasi insieme essa operi! - di limitarsi a contare enti simili, grazie alla proprietà distributiva: finché 2 frazioni non vengono rese simili, sommarle è impossibile! Ecco perché ho scelto di battezzare con il nome di simili frazioni espresse nella stessa unità frazionaria (parti eque), cioè aventi lo stesso denominatore: ciò che le distingue è il numeratore che indica la quantità di parti considerate. In questo numeratore e denominatore realizzano la loro stessa vocazione, intrinseca al nome che portano: il primo enumera, il secondo denomina e assimila.

Si può mostrare questa caratteristica dell'addizione richiamando ciò che già hanno conosciuto bene: le unità di misura oppure i numeri espressi nella notazione posizionale, ricorrendo alle equivalenze opportune.

Questo tutormath si è dimostrato utile allo scopo: