DIMOSTRAZIONI

Per indicare l'implicazione, come notazione si utilizza la freccia che parte dalla ipotesi, cioè l'assunto da cui l'implicazione nasce, e punta alla tesi, cioè a ciò che si intende dimostrare essere una conseguenza dell'ipotesi:

Se poi ipotesi e tesi si implicano a vicenda, cioè se è vera anche l'implicazione opposta di una data, allora la freccia è doppia e la freccia viene letta così "se e solo se".

Esempio:

poiché è vero sia che: "Se un triangolo è isoscele, allora i suoi angoli alla base sono congruenti",

sia l'implicazione opposta: "Se un triangolo ha alla base angoli congruenti, allora il triangolo è isoscele",

allora si può enunciare: "Un triangolo è isoscele se e solo se i suoi angoli alla base sono congruenti",

Esempio:

poiché è vero sia che: "Se un triangolo è isoscele, allora i suoi angoli alla base sono congruenti",

sia l'implicazione opposta: "Se un triangolo ha alla base angoli congruenti, allora il triangolo è isoscele",

allora si può enunciare: "Un triangolo è isoscele se e solo se i suoi angoli alla base sono congruenti",

Ci sono diversi tipi di implicazioni, a seconda di ciò che possono esprimere:

• ENTI PRIMITIVI o FONDAMENTALI: enunciati da cui ogni altra definizione proviene. Non possono perciò essere definiti, ma se ne descrivono le proprietà;

• DEFINIZIONI: enunciati in cui si assegna a un termine specifico il significato grazie a termini già definiti;

• ASSIOMI o POSTULATI: enunciati da cui ogni altro enunciato proviene. Non possono perciò essere dimostrati e li si accetta come veri senza dimostrazione; 

• TEOREMI: enunciati la cui verità è dedotta necessariamente da altri enunciati;

• CONGETTURE: enunciati non assiomatici, presunti veri, ma la cui verità non è ancora stata dimostrata;

• COROLLARI:  enunciati che conseguono immediatamente da teoremi appena enunciati e dimostrati.

Teoremi e corollari permettono di dimostrare le proprietà degli enti matematici.

Per dimostrare un teorema, una congettura, una proprietà o un corollario, spesso sono possibili più strade, ma tutte devono procedere per catene di deduzioni necessariamente conseguenti le une dalle altre. 

Si applica il problem solving, cercando una via fra altre, adottando diverse strategie, sino a quando si individua quella giusta.

ATTENZIONE: in generale, un esempio non dimostra un enunciato. Se, però, l'enunciato è falso, poiché un enunciato o è vero in ogni caso o non lo è, a dimostrarne la falsità basta un esempio che lo contraddica: tale esempio è detto controesempio.