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Le radici non riscuotono grandi consensi presso i discenti, chissà perché: forse perché spesso non se ne può scrivere interamente il valore, ma non sarà forse anche un po' colpa nostra? Facciamo un po' di chiarezza anche tra noi...
1. RADICI E IRRAZIONALI
Un errore piuttosto frequente nella mediazione didattica è instillare l'idea che radici e irrazionali siano biunivocamente connessi. Sappiamo bene che non è così: non tutte le radici sono irrazionali e non tutti gli irrazionali sono radici. Certo è, però, che se gli irrazionali vengono introdotti all'interno della trattazione dei radicali, l'idea errata rischia di farsi strada in modo spontaneo.
Quindi occorre fare molta attenzione al modo in cui si presentano i numeri irrazionali, cercando di svincolarli dal concetto di radice.
E veniamo ora a uno dei soliti "scogli" in cui tanti (tantissimi!) si incagliano: quanti valori può avere una radice?
2. VALORE DI UNA RADICE
Un altro rischio altrettanto frequente è accarezzare l'idea che una radice ammetta più di un valore. Si tratta di una misconcezione che resta purtroppo ancora troppo diffusa fra gli stessi insegnanti di materia, in alternativa all'idea ugualmente errata che l'unicità del valore di una radice sia una pura convenzione.
La radice nell'insieme dei numeri reali ammette al più un valore e tale valore è non negativo: questa non è affatto una scelta casuale, al contrario è assolutamente necessaria affinché la radice sia una funzione, inversa dell'elevamento a potenza.
Esempio: √36 = +6 (e non -6), mentre -√36 = -6.
Quindi: il fatto che 36 sia il quadrato sia di +6 e -6 non implica che √36 possa valere anche -36.
Infatti: (-6)2 = (-√36)2 = (-1)2(√36)2 = (+1)(+6)2 = 36.Poiché
E questo naturalmente resta vero anche passando dall'aritmetica all'algebra.
Precisamente: il fatto che il quadrato di un numero relativo coincida con il quadrato del suo opposto (in linguaggio simbolico: n2 = (-n)2) non implica che √(n)2 possa valere sia n sia -n.
Si ha, invece, che la radice del quadrato di un numero reale coincide con il suo valore assoluto:
√(n2) = lnl
cioè:
√(n2) = n se n>0
√(n2) = -n se n<0
Poiché qualsiasi numero n non può essere contemporanemente positivo e negativo, si tratta di 2 casi distinti. In entrambi si ottiene un unico valore, non negativo poiché se n<0 allora -n>0.
Lo si può visualizzare in modo chiaro osservando il grafico sottostante della funzione valore assoluto f(x) = |x|
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