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Le radici non riscuotono grandi consensi presso i discenti: forse perché spesso non se ne può scrivere interamente il valore, sembrano insidiose, o forse perché non se ne studia più l'algoritmo... ma non sarà forse anche un po' colpa nostra? Facciamo un po' di chiarezza...
1. RADICI E IRRAZIONALI
Un errore piuttosto frequente nella mediazione didattica è instillare l'idea che radici e irrazionali siano biunivocamente connessi. Sappiamo bene che non è così: non tutte le radici sono irrazionali e non tutti gli irrazionali sono radici. Certo è, però, che se gli irrazionali vengono introdotti all'interno della trattazione dei radicali, l'idea errata rischia di farsi strada in modo spontaneo.
Quindi occorre fare molta attenzione al modo in cui si presentano i numeri irrazionali, cercando di svincolarli dal concetto di radice.
E veniamo ora a uno dei soliti "scogli" in cui tanti (tantissimi!) si incagliano: quanti valori può avere una radice? Chiariamolo un volta per tutte!
2. VALORE DI UNA RADICE
2. VALORE DI UNA RADICE
Un altro rischio altrettanto frequente è accarezzare l'idea errata che in ℝ una radice ammetta più di un valore. Si tratta di una misconcezione che resta purtroppo ancora diffusa fra gli stessi insegnanti di materia, in alternativa all'idea - ugualmente errata - che l'unicità del valore di una radice sia una pura convenzione.
Invece:
la radice nell'insieme dei numeri reali ammette al più un valore.
Al più: perché la radice può magari non essere definita in ℝ, cioè non essere reale, contro le condizioni di esistenza:
l'indice è dispari;
l'indice è pari e il radicando è non negativo.
Se ci limitiamo alla radice quadrata, allora:
la radice quadrata di un numero reale non negativo ammette uno e un solo valore: tale valore è non negativo.
Esempio:
√36 = +6 (e non -6), mentre -√36 = -6.
Quindi: il fatto che 36 sia il quadrato sia di +6 e -6 non implica che √36 possa valere anche -6.
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Ma la radice quadrata non è forse la funzione inversa della potenza seconda? Stando così le cose, non dovrebbe perciò poter "restituire" anche valori negativi, visto che è possibile elevare al quadrato anche i numeri negativi?
Questa è la difficoltà che induce erroneamente a supporre che la radice non sia una funzione e possa ammettere 2 valori opposti: si confonde la radice quadrata √x con la funzione che permette di ottenere le 2 soluzioni dell'equazione x2 = k (cioè i 2 valori il cui quadrato è k):
f(x2) =√(x2), se x ≥ 0
f(x2) =-√(x2), se x < 0
Esempio:
le soluzioni dell'equazione x2 = 36 sono +√36 e -√36, quindi +6 e +6.
Resta il fatto che +6 e -6 hanno lo stesso quadrato (36): quindi la potenza seconda non è iniettiva e, quindi, non è biiettiva... e quindi non è invertibile! Come può allora la radice quadrata essere la sua inversa? Più in generale, la funzione potenza seconda come può mai ammettere l'inversa se non è iniettiva, essendo:
f(-x)=(-x)2 =(+x)2=f(x), per ogni x reale?
La funzione potenza a valori reali non è iniettiva, come appena visto; per ammettere una funzione inversa, deve invece diventarlo e dunque, occorre restringerne il dominio all'insieme dei numeri reali non negativi:
f : ℝ+ → ℝ+
x ↦ x2
ℝ+ è pertanto anche il codominio (oltre che il dominio) della funzione inversa, cioè della radice quadrata, cioè l'insieme dei possibili valori che può assumere una radice quadrata:
f : ℝ+ → ℝ+
x2 ↦ √(x2)
L'unicità del valore della radice non è perciò affatto frutto di una scelta arbitraria, al contrario è assolutamente necessaria affinché la radice sia una funzione nel dominio in cui è definita. Si ha, infatti, che la radice del quadrato di un numero reale x è una funzione che coincide con il valore assoluto di x:
√(x2) = lxl
cioè:
√(x2) = x, se x ≥ 0
√(x2) = -x, se x < 0
Poiché qualsiasi numero x non può essere contemporanemente positivo e negativo, si tratta di 2 casi disgiunti. In entrambi si ottiene un unico valore, non negativo poiché se x<0 allora -x>0.
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NOTA BENE: nella risoluzione delle proporzioni continue, il passaggio all'estrazione di radice sia del quadrato del medio sia del prodotto degli estremi è per così dire "indolore", poiché x è certamente positivo, dal momento che si è ancora in ℕ. Ecco perché non è necessario porre il valore assoluto.
Quali sono le misconcezioni più frequenti presso i preadolescenti (e non solo)?
3. RADICI E MISCONCEZIONI
Pare che sia una tentazione comune a molti studenti dei primi anni lasciare il segno di radice dopo averla estratta. Ciò è da imputarsi al significato che viene erroneamente attribuito al segno di radice che non è tanto visto come operatore, bensì come parte del numero che subisce l'estrazione.
Conviene perciò, almeno inizialmente, indicare il segno di radice e l'indice di un colore diverso da quello del radicando, facendolo percepire come soggetto altro rispetto al complemento oggetto (radicando).
Come già per le potenze, anche per le radici la linearità di pensiero porta erroneamente a una linearità della funzione radice e... la radice di una somma magicamente si trasforma nella somma delle radici!
Non c'è modo migliore della giustificazione argomentativa per fugare ogni depistaggio!
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