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Un insieme non è...

... una COLLEZIONE: perché ciò che contraddistingue una collezione, nel linguaggio attuale, è la caratteristica comune a tutti (e soli) i suoi elementi, caratteristica che alcuni insiemi possono anche non avere (per esempio, insiemi costituiti da elementi assortiti a caso). Ciò che non può mancare a un insieme è il criterio, non la caratteristica!

.. una UNIONE: il termine unione ha un significato specifico nella teoria degli insiemi, non è sinonimo di raggruppamento di elementi.

Sì, sì, assolutamente sì! Sia per ragioni storiche, sia per lo sviluppo del pensiero matematico, sia per necessità ontologica dell'aritmetica stessa che vive di relazioni fra insiemi e dentro gli insiemi stessi.

Nonostante la rappresentazione degli insiemi sia facilmente applicabile alla realtà concreta e, dunque, possa essere esperita, la sua natura è assolutamente astratta. 

L'insiemistica è, infatti, il primo invito vero e proprio all'astrazione nel loro percorso didattico: non è perciò l'argomento in quanto tale a mettere in difficoltà giovani studentesse e studenti quanto il passaggio da un'abitudine procedurale a una provocazione relazionale - quindi di natura completamente differente - che si interessa non agli elementi in quanto tali (cioè a come siano fatti) bensì alle relazioni fra loro. Questo apre il necessario cammino verso la generalizzazione.

Di norma si fa conoscenza degli insiemi dopo aver già consolidato il calcolo aritmetico di base e, quindi, dopo aver familiarizzato con la sottrazione. 

Ora: nell'aritmetica, il sottraendo è interamente contenuto nel minuendo al quale viene, appunto, sottratto; nell'insiemistica, invece, l'insieme differenza è il risultato di un'operazione fra 2 insiemi che non sono necessariamente inclusi l'uno nell'altro (il 2° nel 1°), perché ciò che viene sottratto al 1° insieme è l'intersezione fra i 2. 

Proceduralmente parlando, c'è un passo in più rispetto all'aritmetica: ciò che viene sottratto deve prima essere identificato, confrontando i 2 insiemi. Si tratta, dunque, di una micro-espressione nascosta in una stessa operazione. 

In realtà, è una difficoltà analoga a quella che l'insieme unione può destare nei giovani matematici in erba: gli elementi nell'intersezione vengono contati una volta sola (cioè come parte di uno solo dei 2 insiemi), mentre l'addizione aritmetica considera per così dire interamente i 2 addendi.

L'intersezione e l'inclusione mettono in luce l'aspetto relazionale delle operazioni insiemistiche rispetto a quello computazionale.

Certamente i diagrammi di Eulero-Venn facilitano la visualizzazione, ma sappiamo che non sono adatti a rappresentare tutte le relazioni; inoltre, essi comunque presuppongono una piena comprensione del significato che la linea chiusa ha (esterno = esclusione vs interno = inclusione), banale ai nostri occhi, ma non a quelli dei più giovani.

Per esempio, a livello del I anno della scuola media inferiore, il concetto di complementarietà risulta non essere perlopiù immediato. Infatti, se una partizione può essere rappresentata in almeno 2 modi diversi, come in questo esempio:

la rappresentazione di destra, cioè quella in cui l'insieme è diviso a metà sembra risultare più facilmente comprensibile della rappresentazione di sinistra, a insiemi incapsulati: questo perché a sinistra l'insieme differenza (cioè 𝕀) è definito a partire dal sottoinsieme rispetto al quale è complementare (cioè ℚ), mentre nella rappresentazione di destra ogni sottoinsieme è definito a sé. Perciò, la linea chiusa che definisce il sottoinsieme rispetto al suo complementare induce una separazione che non risulta tanto immediata quanto la linea di demarcazione delle 2 metà.

Detto questo, è importante non evitare ai piccoli discenti la fatica di comprendere la rappresentazione di sinistra, poiché proprio l'affrontarla favorisce lo sviluppo del pensiero logico-matematico. 

Il rischio maggiore è di considerarli erroneamente come una parte teorica a sé, avulsa rispetto agli altri ambiti matematici, quando invece ne è la base. 

Lo studio dell'aritmetica, a partire dei numeri naturali, si fonda sugli insiemi numerici che, grazie alle operazioni, prendono vita! Deve, cioè, essere chiaro che fino a che un insieme resta un insieme generico, cioè non è dotato di operazioni e proprietà, non ha in sé alcun interesse dal punto di vista matematico. Diventano interessanti, invece, gli insiemi per così dire "animati", dotati cioè di operazioni e proprietà che concorrono a costruire, l'uno con l'altro, tutta l'aritmetica e ogni altra branca matematica!

Quindi occorre sollecitare le conoscenze insiemistiche lungo l'intero percorso didattico! 

E lo si può fare anche quando non sono strettamente necessarie per il concetto, utilizzandole in modo strumentale per visualizzare e manipolare concetti.

Un esempio? Nell'ambito della divisibilità, è piuttosto efficace visualizzare con l'insiemistica criterio generale di divisibilità, MCD e mcm fra 2 o più numeri naturali (clicca sui link per vedere come applicarla) e consiglio l'utilizzo dei MathLink® Cubes o dei salvagenti Prime Climb per favorire la manipolazione, come in questo esempio: