LE TASSELLAZIONI

Una tassellazione è il ricoprimento di un piano, ottenuto utilizzando 1 o più figure geometriche (dette tasselli) senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni.

La geometria suddivide le tassellazioni del piano in 3 famiglie:

• tassellazioni regolari: ottenute impiegando 1 solo tipo di poligono regolare (lati e angoli tutti uguali);

• tassellazioni semiregolari: ottenute impiegando 2 o più tipi di poligoni regolari, disposti però in modo che ogni vertice della rete sia geometricamente identico a tutti gli altri (come l'unione di ottagoni e quadrati);

• tassellazioni irregolari: ottenute impiegando poligoni non regolari o figure dalle forme curve e complesse, capaci comunque di incastrarsi alla perfezione.

Colpito dalla visita all'Alhambra, l'incisore olandese e matematico dilettante M.C. ESCHER (1898-1972) trasformò la rigida geometria dei poligoni in rettili, uccelli, pesci e figure umane. Escher piegò la tassellazione alla narrazione visiva, mostrando come una forma astratta (come l'esagono) possa trasformarsi gradualmente in un'immagine viva, come quella delle "Lucertole" del 1942:

Si può tassellare il piano con pentagoni convessi irregolari, ma solo se i loro lati e i loro angoli rispettano precise proporzioni, cioè con opportuni vincoli esprimibili con equazioni. 

Per decenni, i matematici di tutto il mondo hanno cercato di rispondere a una domanda fondamentale: 

quanti sono i "tipi" di pentagoni convessi irregolari in grado di pavimentare il piano?

Fu il matematico tedesco Karl REINHARDT (1895-1941) a porre ufficialmente la questione e, nel tentativo di rispondere, cercò di produrli esplicitamente. Nel tempo, ne sono stati individuati in tutto 15, numerati da 1 a 15 da sinistra a destra e dall'alto vero il basso della figura seguente: 

I primi 5 furono individuati nel 1918 dallo stesso Reinhardt. 

Nel 1968, ben 50 anni dopo Reinhardt, il matematico e accademico statunitense Richard KERSHNER (1913-1982) ne individuò altri 3, convinto erroneamente che non ne esistessero altri.

Nel 1975 Richard JAMES III individuò il tipo 10. Non era un matematico di professione, ma un ingegnere informatico californiano che, un giorno, lesse un articolo di Martin GARDNER (1914-2010) su Scientific American riguardante la falsa completezza della lista di Kershner. 

Stimolato dalla sfida, trovò una nuova combinazione geometrica che era sfuggita ai accademici.

Nel 1985, Rolf STEIN, un matematico tedesco, individuò il tipo 14.

L'ultimo, il tipo 15, fu scoperto nel 2015 da Casey MANN, da sua moglie Jennifer McLOUD-MANN e da David Von DERAU, grazie anche all'utilizzo di un software apposito.

Nel 2017 Michaël RAO (nato nel 1979) ha dimostrato che non ne esistono altri.