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Anche la matematica ha un suo gusto estetico: la "bellezza" di alcuni numeri splende in maniera più evidente di quella di altri, tanto da chiamarli... perfetti!
Dato l'insieme finito D(n) dei divisori di un numero naturale n, consideriamo la somma dei suoi elementi, escluso n stesso: se tale somma è uguale a n, allora n è detto perfetto:
un numero naturale è detto perfetto se la somma dei suoi divisori propri, cioè diversi dal numero stesso, è uguale al numero stesso n.
Poiché aggiungere a tale somma il numero stesso n significa ottenere il doppio del numero n, allora la definizione può essere anche così riformulata:
un numero naturale è detto perfetto se la somma dei suoi divisori è uguale al doppio del numero stesso n.
Per esempio:
se n = 6, si ha: D(6) = {1, 2, 3, 6}; 1+2+3 = 6 o, in modo equivalente:
1+2+3+6 = 12 = 2 ∙ 6; quindi 6 è un numero perfetto;
se n = 28, si ha: D(28) = {1, 2, 4, 7, 14}; 1+2+4+7+14 = 28 o, in modo equivalente:
1+2+4+7+14+28 = 56 = 2 ∙ 28; quindi 28 è un numero perfetto.
Verrebbe allora da chiedersi: i numeri primi, che sono la meraviglia della matematica, sono forse perfetti? Leggi la risposta di un tuo compagno, Matteo:
I numeri primi non sono perfetti.
Un numero primo p non è perfetto, poiché il suo solo divisore utile alla somma è 1 e p > 1.
Ma in che cosa è questa loro "bellezza" che è persino estranea ai numeri primi?
La mente matematica trova bello ciò che in qualche modo nasconde una semplice regolarità, come uno schema elementare che lo caratterizza o una forma universale.
Per esempio, la bella e semplice forma dei numeri perfetti pari è stata scoperta, dimostrata e resa nota da Eulero (1707-1783), il celebre svizzero fra i matematici più versatili e prolifici:
un numero naturale è perfetto se e solo se è della forma:
dove p è un numero primo.
Per esempio:
se p = 2, si ha: 2 ∙ 3 = 6; quindi 6 è il 1° numero perfetto;
se p = 3, si ha: 4 ∙ 7 = 28; quindi 28 è il 2° numero perfetto;
se p = 5, si ha: 16 ∙ 31 = 28; quindi 496 è il 3° numero perfetto.
Non si sa se esistano numero perfetti dispari: all'aumentare di p, i numeri diventano immediatamente enormi.
Diversamente dai numeri primi che sono la meravigliosa e sfuggente materia prima che plasma tutta l'aritmetica, i numeri perfetti sono piuttosto come gemme rare il cui mistero s'intreccia a quello dei numeri primi, continuando ancora oggi a solleticare la curiosità dei matematici.
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