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A Tripotter non ci sono solo scale in movimento, ma... interi spazi! E così a volte capita di doversi misurare con sempre nuove dimensioni. Ma quello che sta succedendo adesso è assolutamente assurdo: è scoppiato letteralmente il delirio!
Ogni cosa di forma cubica ha preso a mutare, come per volersi espandere in nuovi spazi inimmaginabili, a più di 3 dimensioni.
C'è bisogno del tuo aiuto per domare gli ipercubi che sono irriconoscibili e sembrano impazziti! Come?
Per imbrigliarli, devi scoprire le relazioni fra vertici, spigoli e angoli negli spazi n-dimensionali.
Aiuto!!!! Sì, ti aiuto io, non preoccuparti... segui, passo a passo, le mie istruzioni.
Stai per utilizzare l'ANALOGIA come strumento potentissimo per rappresentare ciò che non si vede nemmeno con la fantasia!!!
Considera il modo in cui si costruisce Cn - il cubo n-dimensionale - a partire dalla dimensione precedente n-1.
Indichiamo rispettivamente con Vn , Sn , Fn i suoi vertici, spigoli e facce.
PASSO 1.
Completa la tabella:
Confronta subito quanto hai scritto con la soluzione nascosta sotto la tabella, quindi chiediti: c'è una relazione fra il numero di vertici, spigoli e facce di uno spazio e i corrispondenti numeri dello spazio successivo? E se c'è, come si può esprimere?
PASSO 2.
OSSERVA E CONGETTURA Quale relazione ricorsiva - se c'è - fra:
Vn+1 e Vn
Sn+1 e Sn
Fn+1 e Fn
Ce l'hai fatta? Verifica la tua congettura, cliccando sull'immagine del quesito!
Nelle formule che hai trovato parrebbe delinearsi una relazione non solo fra elementi analoghi (2 vertici, 2 spigoli, 2 facce) in spazi diversi, ma anche fra elementi diversi in spazi diversi. Si fa perciò strada un'altra domanda - lo sai, il matematico è goloso e le domande sono come le ciliegie: che cosa hanno in comune le 3 formule appena enunciate? C'è una relazione generale che le comprenda tutte?
PASSO 3.
Indichiamo con N(n,k) l’elemento di dimensione k di un cubo n-dimensionale (detto ipercubo) di dimensione k nello spazio n-dimensionale.
Per esempio, se ci limitiamo agli spazi appena indagati, secondo la tabella che hai appena completato:
Puoi facilmente osservare che N(n,k) = 0 se e solo se n< k.
Riesci a trovare uno schema che ricorre, che si ripete? C'è una relazione fra elementi di spazi differenti?
OSSERVA E GENERALIZZA Quale relazione ricorsiva - se c'è - fra N(n+1,k) , N(n,k) e N(n,k-1) ?
Congratulazioni! Andiamo ancora oltre, sempre oltre: generalizziamo! Riusciamo a esprimere una formula che permetta di individuare il numero di un solo elemento (punti, spigoli, facce, etc.) in qualsiasi spazio, formula che cioè non dipenda da altri elementi?
PASSO 4.
Si può esprimere un elemento esclusivamente in funzione dello spazio considerato.
In particolare valgono le seguenti relazioni:
DIMOSTRA Utilizzando le formule del PASSO 2. e la strategia dell'induzione, dimostra le relazioni appena enunciate.
Ce la fai ancora? Allora, coraggio, vogliamo ancora di più: è possibile esprimere con una sola formula tutte queste relazioni? Intravedi cioè una relazione esclusiva fra l'elemento e il suo spazio?
PASSO 5.
Ricorda il significato delle seguenti notazioni:
n! = 1· 2· 3· ... · n (n fattoriale)
(coefficiente binomiale)
OSSERVA, CONGETTURA E GENERALIZZA Quale relazione c'è fra N(n,k) e n?
Non è forse cosa facile, ma provaci: Tripotter conta su di te!
Verifica le tue dimostrazioni, cliccando sul pulsante!
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